-1.png)
-2.png)
-3.png)
-4.png)
-5.png)
-6.png)
-7.png)
-8.png)
Метод анализа иерархий
Метод анализа иерархий (МАИ) — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.
МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению.
Этот метод разработан американским математиком Томасом Л. Саати, который написал о нём книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводил симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process). МАИ широко используется на практике и активно развивается учёными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.
Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями.
Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.
Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки[1]. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.
Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свёртка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.
Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией
Сфера образования и научных исследований
Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях[2][3]. Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD[4][5][6].
Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ[7].
Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал[8].
Методика применения МАИ
Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки — электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора.
Устройство для удаленного ввода и обработки оценок
Порядок применения МАИ:
- Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив;
- Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений;
- Синтез глобальных приоритетов альтернатив путём линейной свёртки приоритетов элементов на иерархии;
- Проверка суждений на согласованность;
- Принятие решения на основе полученных результатов[9].
Рассмотрим эти шаги подробнее.
Моделирование проблемы в виде иерархии
Первый шаг МАИ — построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.[9]
Определение иерархической структуры
Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие альтернативы и их покрывающие критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая альтернатива связана с каждым из покрывающих её критериев.
Иерархическая структура — это графическое представление проблемы в виде перевёрнутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.
Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т.д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.
В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах. В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечно-сосудистая система (и её множественные уровни), нервная система (и её компоненты и подсистемы) и т.д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.
Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объёмов информации. По мере проектирования этой структуры формируется всё более полное понимание проблемы[9].
Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ
Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляют собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами.
Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре критерия — это дети цели; в свою очередь, цель — это родительский элемент для любого из критериев. Каждая Альтернатива — это дочерний элемент, каждого из включающих её критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех критериев и группа, включающая три Альтернативы.
Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т.п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий[10]. Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, критериев и Альтернатив[9].
Расстановка приоритетов
Определение приоритетов и пояснения
Приоритеты — это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Приоритеты — безразмерные величины, подобно вероятностям, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.
Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию
На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике.
Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путём умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.
Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.
- Saaty, Thomas L. Relative Measurement and its Generalization in Decision Making: Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors - The Analytic Hierarchy/Network Process (англ.) // RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Sciences, Series A, Mathematics) : journal. — 2008. — June (vol. 102, no. 2). — P. 251—318.
- ↑ Drake, P.R. Using the Analytic Hierarchy Process in Engineering Education (англ.) // International Journal of Engineering Education : journal. — 1998. — Vol. 14, no. 3. — P. 191—196. Архивировано 28 ноября 2007 года. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 25 декабря 2009. Архивировано 28 ноября 2007 года.
- ↑ Bodin, Lawrence; Saul I. Gass. Exercises for Teaching the Analytic Hierarchy Process (англ.) // INFORMS Transactions on Education : journal. — 2004. — January (vol. 4, no. 2).
- ↑ Hallowell, David L. Analytical Hierarchy Process (AHP) – Getting Oriented (англ.) // ISixSigma.com : journal. — 2005. — January. Архивировано 11 августа 2007 года. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 25 декабря 2009. Архивировано 11 августа 2007 года.
- ↑ Analytic Hierarchy Process (AHP) (неопр.) // QFD Institute.
- ↑ Analytical Hierarchy Process: Overview (неопр.) // TheQualityPortal.com.
- ↑ Sun, Hongkai (July, 2005), AHP in China, in Levy, Jason, Proceedings of the 8th International Symposium on the Analytic Hierarchy Process, Honolulu, Hawaii Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
- ↑ Participant Names and Papers, ISAHP 2005, Honolulu, Hawaii (недоступная ссылка) (July 2005). Дата обращения: 22 августа 2007. Архивировано 13 апреля 2012 года.
- ↑ 1 2 3 4 Saaty, Thomas L. Decision Making for Leaders: The Analytic Hierarchy Process for Decisions in a Complex World (англ.). — Pittsburgh, Pennsylvania: RWS Publications, 1999. — ISBN 0-9620317-8-X. (This book is the primary source for the sections in which it is cited.)
- ↑ Saaty, Thomas L.; Ernest H. Forman. The Hierarchon: A Dictionary of Hierarchies (англ.). — Pittsburgh, Pennsylvania: RWS Publications, 1992. — ISBN 0-9620317-5-5. 496 pages, spiral bound. Each entry includes a description and diagram of an AHP model; the models are grouped in categories: educational, government/public policy, government public/strategy, health military, non-profit, personal, planning, political, etc.
Аналитический иерархический процесс
Обработка аналитических иерархий (Analytic Hierarchy Process, AHP) — структурированная техника принятия комплексных решений (en:MCDA). Она не дает ответа на вопрос, что правильно, а что нет, но позволяет человеку, принимающему решение, оценить, какой из рассматриваемых им вариантов лучше всего удовлетворяет его нуждам и его пониманию проблемы (задачи). В русскоязычной литературе известен как «Метод анализа иерархий».
Метод обработки аналитических иерархий был разработан в начале 1980-x годов почетным профессором университета Питтсбурга Томасом Л. Саати и с тех пор активно совершенствуется и находит практическое применение в таких областях современной жизни, как менеджмент, бизнес, медицина, образование, повседневная жизнь и т. д.
Применение AHP
AHP может применяться для следующих типов задач[1]:
- Выбор — избрание одной альтернативы из числа многих.
- Ранжирование — расстановка нескольких альтернатив по степени их важности или необходимости.
- Приоритизация — выявление важности одной альтернативы относительно другой.
- Распределение ресурсов.
- Сравнение с образцами.
- Менеджмент качества — оценка качества при наличии множественных характеристик и показателей.
Метод AHP может применяться как одним человеком, так и группой экспертов, в зависимости от сложности поставленной задачи[2].
Алгоритм AHP
- Обозначение иерархии
Обозначьте проблему в виде иерархической структуры. Иерархическая структура представляет собой перевернутое древо. Наверху должна быть цель, которую необходимо достигнуть, или проблема, которую необходимо решить. Далее следуют параметры, величина которых влияет на итоговое решение. Это критерии. Стоит отметить, что критерии могут дробиться на субкритерии. Далее должны присутствовать альтернативы достижения цели. Для каждой из этих альтернатив должно быть возможным определение абсолютного или относительного значения каждого из критериев. Таким образом, иерархия позволяет разложить сложную проблему на части, что позволяет понять сложность и многогранность предстоящего выбора[3] . Элементами иерархии могут быть как материальные, так и нематериальные показатели, как количественные, так и качественные факторы.[4]
- Расстановка приоритетов
Необходимо попарно сравнить все критерии, при помощи которых мы собираемся сравнивать имеющиеся альтернативы. Результатом этапа явится матрица приоритетов. Сумма удельных весов субкритериев равна критерию.
- Сравнение альтернатив
Имея в наличии знания об относительной важности каждого из критериев, можно перейти к сравнению альтернатив по каждому из критериев.
- Проверка на согласованность
Если процедуры, описанные выше, выполняются группой лиц, то логично использовать среднее значение персональных оценок. В связи с этим важно понимать, насколько согласованны были эти оценки, насколько они были едины. Иначе мы рискуем столкнуться с не репрезентативными данными.
- Принятие итогового решения
Имея результаты по парного сравнения альтернатив и относительную важность критериев, мы можем посчитать оценку каждой из альтернатив, что даст нам основание для принятия итогового решения.
Ранжирование в иерархическом процессе
Ранжирование критериев
Предположим, что у нас есть три проекта: Проект А, Проект Б и Проект В. Нам необходимо при помощи аналитического иерархического процесса выявить относительный приоритет каждого проекта.
Итак, цель - проект. Допустим, у нас есть три критерия, которые определяют выбор проекта: длительность, стоимость и ожидаемое качество. (В реальности таких критериев может быть гораздо больше). Данный пример наглядно демонстрирует практическую применимость AHP: в зависимости от стратегии компании, упор может делаться на проекты с диаметрально противоположными характеристиками.
Сравним все критерии попарно. Для этого используем следующую шкалу:
- 1 - критерии равнозначны,
- 3 - один критерий имеет несколько большую значимость нежели другой,
- 5 - один критерий имеет существенно большую значимость нежели другой,
- 7 - один критерий имеет бесспорно большую значимость нежели другой, подтверждается не только экспертным путём, но и на практике,
- 9 - один критерий имеет абсолютно большую значимость нежели другой.
Стоит отметить, что если приоритет А над Б равен 7, то приоритет Б над А равен 1/7.
Допустим, что мы сравнили попарно три критерия и получили следующие результаты:
| Длительность | Стоимость | Качество | |
| Длительность | 1 | 0,333 | 0,200 |
| Стоимость | 3 | 1 | 0,333 |
| Качество | 5 | 3 | 1 |
Теперь посчитаем сумму в каждом столбце и разделим значение каждой ячейки на сумму значений соответствующего столбца.
| Длительность | Стоимость | Качество | |
| Длительность | 0,111 | 0,077 | 0,130 |
| Стоимость | 0,333 | 0,231 | 0,217 |
| Качество | 0,556 | 0,692 | 0,652 |
Посчитав средние значения по строкам, мы найдем удельный вес каждого из критериев.
| Длительность | Стоимость | Качество |
| 0,106 | 0,261 | 0,633 |
Ранжирование проектов по критериям
Вариант 1: использование шкалы
Ранжирование проектов производится отдельно по каждому из критериев. В нашем примере три критерия. Важно, чтобы шкала для каждого из них имела одинаковый диапазон значений.
| Длительность | Стоимость | Качество | |
| 9 | не более месяца | не более 1000$ | высокое качество результатов гарантировано |
| 7 | 1-3 месяца | 1000$ - 10000$ | высокое качество результатов легко достижимо |
| 5 | 3-6 месяцев | 10000$ - 100000$ | требуются усилия для достижения высокого качества результатов |
| 3 | 6-18 месяцев | 100000$ - 1000000$ | высокое качество результатов достижимо при определенном стечении обстоятельств |
| 1 | свыше 18 месяцев | свыше 1000000$ | высокое качество результатов практически наверняка не достижимо |
Допустим, что экспертным путём было выявлено, что каждый из проектов заслуживает следующих оценок:
| Проект А | Проект Б | Проект В | |
| Длительность | 5 | 3 | 7 |
| Стоимость | 7 | 5 | 3 |
| Качество | 3 | 7 | 5 |
Если бы критерии имели равный вес, то мы бы оказались в сложной ситуации, где три проекта имеют для компании идентичное значение. Однако AHP позволяет нам справиться с этой проблемой. Взяв каждую из оценок с удельным весом критерия, найденным ранее, и сложив по-проектно, получим:
| Проект А | Проект Б | Проект В |
| 4,256 | 6,054 | 4,690 |
Очевидно, что выбран будет Проект Б.
Вариант 2: использование относительных величин
AHP позволяет нам отказаться от шкал и использовать ту же технику, что и для расстановки приоритетов по критериям.
Применим технику для каждого из критериев
Длительность
| Проект А | Проект Б | Проект В | |
| Проект А | 1 | 3 | 0,333 |
| Проект Б | 0,333 | 1 | 0,200 |
| Проект В | 3 | 5 | 1 |
В результате получим:
| Проект А | Проект Б | Проект В |
| 0,261 | 0,106 | 0,633 |
Стоимость
| Проект А | Проект Б | Проект В | |
| Проект А | 1 | 3 | 5 |
| Проект Б | 0,333 | 1 | 3 |
| Проект В | 0,200 | 0,333 | 1 |
| Проект А | Проект Б | Проект В |
| 0,633 | 0,261 | 0,106 |
Качество
| Проект А | Проект Б | Проект В | |
| Проект А | 1 | 0,200 | 0,333 |
| Проект Б | 5 | 1 | 3 |
| Проект В | 3 | 0,333 | 1 |
| Проект А | Проект Б | Проект В |
| 0,106 | 0,633 | 0,261 |
Теперь нам остается только применить линейное свертывание и посчитать относительный вес каждой из альтернатив в первоначальной цели.
| Проект А | Проект Б | Проект В |
| 0,260 | 0,480 | 0,260 |
Как и предыдущим способом,выбран будет Проект Б.
Сноски
- ↑ Forman, Ernest H.; Saul I. Gass. The analytical hierarchy process—an exposition (англ.) // Operations Research. — 2001. — July (vol. 49, no. 4). — P. 469—487. — doi:10.1287/opre.49.4.469.11231.
- ↑ Bhushan, Navneet; Kanwal Rai. Strategic Decision Making: Applying the Analytic Hierarchy Process (англ.). — London: Springer-Verlag, 2004. — ISBN 1-8523375-6-7.
- ↑ Saaty, Thomas L. Decision Making for Leaders: The Analytic Hierarchy Process for Decisions in a Complex World (англ.). — Pittsburgh, Pennsylvania: RWS Publications, 1999. — ISBN 0-9620317-8-X. (This book is the primary source for the sections in which it is cited.)
- ↑ Saaty, Thomas L. Relative Measurement and its Generalization in Decision Making: Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors - The Analytic Hierarchy/Network Process (англ.) // RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Sciences, Series A, Mathematics) : journal. — 2008. — June (vol. 102, no. 2). — P. 251—318.
